- Диаметр $D$, мм
- Высота $H$, мм
- Угол конуса $A$°
- Угол левой секущей плоскости $C1$°
- Угол правой секущей плоскости $C2$°
- Угол стыка $B$°
| Параметры: | |
|---|---|
|
|
|
Найдем высоту правой грани $H_2$. Для этого рассмотрим вторую половинку конуса.
$$\tan(C_2^{\circ}) = \frac{T_1 T_3}{T_5 T_2} = \frac{H - H_2}{\dfrac{d_2}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) = \frac{T_4 T_5}{T_3 T_2} = \frac{\dfrac{D}{2} - \dfrac{d_2}{2}}{H_2}$$
Подставляем $d_2$ из одного уравнения в другое.
$$\tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) = \frac{\dfrac{D}{2} - \dfrac{H - H_2}{\tan(C_2^{\circ})}}{H_2} = \frac{D \cdot \tan(C_2^{\circ}) - 2 \cdot H + 2 \cdot H_2}{2 \cdot \tan(C_2^{\circ}) \cdot H_2}$$
Выразим $H_2$.
$$H_2 = \frac{H - \dfrac{D}{2} \cdot \tan(C_2^{\circ})}{1 - \tan(C_2^{\circ}) \cdot \tan\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
Найдем высоту левой грани $H_1$. Для этого рассмотрим первую половинку конуса.
$$\tan(C_1^{\circ}) = \frac{T_1 T_3}{T_2 T_5} = \frac{H - H_1}{\dfrac{d_1}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) = \frac{T_5 T_4}{T_3 T_2} = \frac{\dfrac{D}{2} - \dfrac{d_1}{2}}{H_1}$$
Подставляем $d_1$ из одного уравнения в другое.
$$\tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) = \frac{\dfrac{D}{2} - \dfrac{H - H_1}{\tan(C_1^{\circ})}}{H_1} = \frac{D \cdot \tan(C_1^{\circ}) - 2 \cdot H + 2 \cdot H_1}{2 \cdot \tan(C_1^{\circ}) \cdot H_1}$$
Выразим $H_1$.
$$H_1 = \frac{H - \dfrac{D}{2} \cdot \tan(C_1^{\circ})}{1 - \tan(C_1^{\circ}) \cdot \tan\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
Диаметр большой по нейтральной линии:
$$D' = D - 2 \cdot S \cdot (1 - k) \cdot \cos\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
где
Длина образующей:
$$L = \frac{D'}{2 \cdot \sin\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
Найдем $L_1$. Для этого рассмотрим левую часть конуса.
$$L_1 = L - T_3 T_5$$
$$T_3 T_5 = T_1 T_2 + T_2 T_4$$
$$T_2 T_4 = \frac{H_1}{\cos\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
$$\angle T_1 T_3 T_2 = \angle T_1 T_3 T_6 - \angle T_2 T_3 T_6 = 90^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2} - (90^{\circ} - C_1^{\circ}) = C_1^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}$$
$$T_1 T_2 = T_1 T_3 \cdot \tan(\angle T_1 T_3 T_2) = S \cdot (1 - k) \cdot \tan\left(C_1^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
$$T_3 T_5 = S \cdot (1 - k) \cdot \tan\left(C_1^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}\right) + \frac{H_1}{\cos\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
$$L_1 = L - \left(S \cdot (1 - k) \cdot \tan\left(C_1^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}\right) + \frac{H_1}{\cos\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}\right)$$
Найдем $L_2$. Для этого рассмотрим правую часть конуса.
$$L_2 = L - T_3 T_5$$
$$T_3 T_5 = T_1 T_2 + T_2 T_4$$
$$T_2 T_4 = \frac{H_2}{\cos\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
$$\angle T_1 T_3 T_2 = \angle T_1 T_3 T_6 - \angle T_2 T_3 T_6 = 90^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2} - (90^{\circ} - C_2^{\circ}) = C_2^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}$$
$$T_1 T_2 = T_1 T_3 \cdot \tan(\angle T_1 T_3 T_2) = S \cdot (1 - k) \cdot \tan\left(C_2^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
$$T_3 T_5 = S \cdot (1 - k) \cdot \tan\left(C_2^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}\right) + \frac{H_2}{\cos\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}$$
$$L_2 = L - \left(S \cdot (1 - k) \cdot \tan\left(C_2^{\circ} + \frac{A^{\circ}}{2}\right) + \frac{H_2}{\cos\left(\dfrac{A^{\circ}}{2}\right)}\right)$$
Найдем $d$. Для этого посмотрим на конус сбоку (см. рисунок выше).
$$\tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) = \frac{\dfrac{D}{2} - \dfrac{d}{2}}{H}$$
$$d = D - 2 \cdot H \cdot \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
Центральный угол сектора развертки:
$$\Theta^{\circ} = \sin\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot 360^{\circ}$$
Проводим вертикально ось симметрии. На ней, выбрав точку для вершины, рисуем нижнюю дугу радиусом $L$ и углом $\Theta^{\circ}$ симметрично относительно оси.
Для построения верхнего контура развертки переходим на луч OO'. Этот луч будет началом полярных координат, от которого мы отложим точки для кривой.
Рассмотрим один из вариантов построения развертки, когда угол $B$° лежит в I или IV квадранте.
Линия развертки будет состоять из трех кривых.
1) Построение первой кривой
$\gamma_1^{\circ}$ — угол дуги
Если $B$° ∈ [0°; 90°), то
$$\gamma_1^{\circ} = 90^{\circ} - B^{\circ}.$$
Если $B$° ∈ (270°; 360°), то
$$\gamma_1^{\circ} = 450^{\circ} - B^{\circ}.$$
Координаты точек:
$$\omega_i^{\circ} = i \cdot \Theta_i^{\circ}$$
$$L_i = \frac{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ})}{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ}) \cdot \cos(B^{\circ} + i \cdot \varphi_i^{\circ})} \cdot L_2$$
где
Добавляем последнюю точку:
$$\omega_{i+1}^{\circ} = \gamma_1^{\circ} \cdot \sin\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
$$L_{i+1} = \frac{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ})}{\cos(C_2^{\circ})} \cdot L_2$$
Проводим плавную линию через точки.
2) Построение второй кривой
$$\gamma_2^{\circ} = 180^{\circ}.$$
Координаты первой точки:
$$\omega_0^{\circ} = \gamma_1^{\circ} \cdot \sin\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
$$L_0 = \frac{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ})}{\cos(C_2^{\circ})} \cdot L_2$$
Координаты точек (кроме первой и последней) для второй кривой:
$$\omega_i^{\circ} = \omega_0^{\circ} + i \cdot \Theta_i^{\circ}$$
$$L_i = \frac{\cos(C_1^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_1^{\circ})}{\cos(C_1^{\circ}) + \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_1^{\circ}) \cdot \cos(90^{\circ} + i \cdot \varphi_i^{\circ})} \cdot L_1$$
где
Добавляем последнюю точку для данной кривой:
$$\omega_{i+1}^{\circ} = (\gamma_1^{\circ} + \gamma_2^{\circ}) \cdot \sin\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
$$L_{i+1} = \frac{\cos(C_1^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_1^{\circ})}{\cos(C_1^{\circ})} \cdot L_1$$
Проводим плавную линию через точки.
3) Построение третьей кривой
$$\gamma_3^{\circ} = 180^{\circ} - \gamma_1^{\circ}.$$
Координаты первой точки:
$$\omega_0^{\circ} = (\gamma_1^{\circ} + \gamma_2^{\circ}) \cdot \sin\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right)$$
$$L_0 = \frac{\cos(C_1^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_1^{\circ})}{\cos(C_1^{\circ})} \cdot L_1$$
Координаты точек (кроме первой и последней) для третьей кривой:
$$\omega_i^{\circ} = \omega_0^{\circ} + i \cdot \Theta_i^{\circ}$$
$$L_i = \frac{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ})}{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ}) \cdot \cos(270^{\circ} + i \cdot \varphi_i^{\circ})} \cdot L_2$$
где
Добавляем последнюю точку для данной кривой:
$$\omega_{i+1}^{\circ} = \Theta^{\circ}$$
$$L_{i+1} = \frac{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ})}{\cos(C_2^{\circ}) - \tan\left(\frac{A^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin(C_2^{\circ}) \cdot \cos(270^{\circ} + \gamma_3^{\circ})} \cdot L_2$$
Проводим плавную линию через точки.
Соединяем оба контура.