- Диаметр $d$, мм
- Диаметр $D$, мм
- Высота $H$, мм
- Смещение $X$, мм
- Угол стыка $B$°
| Параметры: | |
|---|---|
|
|
|
Найдем значения диаметров по нейтральной линии $D'$ и $d'$.
Построим дополнительно прямые $T_4'T_3 \parallel T_2'T_2$ и $T_4'T_5 \parallel T_7'T_7$.
Найдем углы $J^{\circ}, E^{\circ}$.
Рассмотрим треугольник $\triangle T_4'T_5T_6$.
$$\tan(E^{\circ}) = \frac{L_{T_5T_6}}{L_{T_4'T_6}}$$
$$L_{T_4'T_6} = H$$
$$L_{T_5T_6} = L_{T_4T_6} - L_{T_4T_5}$$
$$L_{T_4T_6} = X$$
$$L_{T_4T_5} = L_{T_3T_4} = \frac{L_{T_3T_5}}{2}$$
$$L_{T_3T_5} = L_{T_1T_8} - L_{T_1T_3} - L_{T_5T_8}$$
$$L_{T_1T_8} = D$$
$$L_{T_1T_3} = L_{T_1'T_4'} = \frac{d}{2}$$
$$L_{T_5T_8} = L_{T_4'T_8'} = \frac{d}{2}$$
$$L_{T_3T_5} = D - \frac{d}{2} - \frac{d}{2} = D - d$$
Следовательно
$$L_{T_5T_6} = X - \frac{D - d}{2}$$
$$\tan(E^{\circ}) = \frac{L_{T_5T_6}}{L_{T_4'T_6}} = \frac{X - \frac{D-d}{2}}{H} = \frac{2 \cdot X - (D - d)}{2 \cdot H}$$
$$E^{\circ} = \arctan\left(\frac{2 \cdot X - (D - d)}{2 \cdot H}\right)$$
Рассмотрим треугольник $\triangle T_4'T_3T_6$.
$$\tan(J^{\circ}) = \frac{L_{T_3T_6}}{L_{T_4'T_6}}$$
$$L_{T_3T_6} = L_{T_4T_6} + L_{T_3T_4} = X + \frac{D - d}{2}$$
$$\tan(J^{\circ}) = \frac{X + \frac{D-d}{2}}{H} = \frac{2 \cdot X + (D - d)}{2 \cdot H}$$
$$J^{\circ} = \arctan\left(\frac{2 \cdot X + (D - d)}{2 \cdot H}\right)$$
Найдем $D'$ и $d'$.
$$D' = D - L_{T_1T_2} - L_{T_7T_8}$$
$$L_{T_1T_2} = \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(J^{\circ})}$$
$$L_{T_7T_8} = \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(E^{\circ})}$$
$$D' = D - \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(J^{\circ})} - \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(E^{\circ})}$$
$$d' = d - L_{T_1'T_2'} - L_{T_7'T_8'}$$
$$L_{T_1'T_2'} = L_{T_1T_2} = \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(J^{\circ})}$$
$$L_{T_7'T_8'} = L_{T_7T_8} = \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(E^{\circ})}$$
$$d' = d - \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(J^{\circ})} - \frac{S \cdot (1 - k)}{\cos(E^{\circ})}$$
Найдем угол $C^{\circ}$.
$$C^{\circ} = \arctan\left(\frac{H}{X}\right)$$
Найдем значения $X', X''$ и $H', H''$.
Рассмотрим треугольники $\triangle S'T_4T_7$ и $\triangle S'T_4'T_7'$. Треугольники подобны. Следовательно,
$$\frac{L_{S'T_4}}{L_{S'T_4'}} = \frac{L_{T_4T_7}}{L_{T_4'T_7'}}$$
$$\frac{L_{S'T_4'} + L_{T_4'T_4}}{L_{S'T_4'}} = \frac{L_{T_4T_7}}{L_{T_4'T_7'}}$$
$$L_{T_4'T_4} = \sqrt{H^2 + X^2}$$
$$L_{T_4T_7} = \frac{D'}{2}$$
$$L_{T_4'T_7'} = \frac{d'}{2}$$
$$\frac{L_{S'T_4'} + \sqrt{H^2 + X^2}}{L_{S'T_4'}} = \frac{D'}{d'}$$
После упрощения получим
$$L_{S'T_4'} = \frac{d'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2}$$
$$L_{S'T_4} = L_{S'T_4'} + L_{T_4'T_4} = \frac{d'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2} + \sqrt{H^2 + X^2}$$
$$L_{S'T_4} = \frac{D'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2}$$
$$X' = L_{S'T_4} \cdot \cos(C^{\circ}) = \frac{D'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2} \cdot \cos(C^{\circ})$$
$$H' = L_{S'T_4} \cdot \sin(C^{\circ}) = \frac{D'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2} \cdot \sin(C^{\circ})$$
$$X'' = L_{S'T_4'} \cdot \cos(C^{\circ}) = \frac{d'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2} \cdot \cos(C^{\circ})$$
$$H'' = L_{S'T_4'} \cdot \sin(C^{\circ}) = \frac{d'}{D' - d'} \cdot \sqrt{H^2 + X^2} \cdot \sin(C^{\circ})$$
Вычислим длину хорды одного деления окружности.
$$L_{\text{хорд}} = D' \cdot \sin\left(\frac{\varphi_i^{\circ}}{2}\right)$$
Длина образующих вычисляется по теореме Пифагора.
Для верхнего контура:
$$Y_i' = \sqrt{\left(\frac{d'}{2}\right)^2 + (X'')^2 - d' \cdot X'' \cdot \cos(B^{\circ} + i \cdot \varphi_i^{\circ})}$$
$$L_i' = \sqrt{(H'')^2 + (Y_i')^2}$$
Для нижнего контура:
$$Y_i = \sqrt{\left(\frac{D'}{2}\right)^2 + (X')^2 - D' \cdot X' \cdot \cos(B^{\circ} + i \cdot \varphi_i^{\circ})}$$
$$L_i = \sqrt{(H')^2 + (Y_i)^2}$$
Угол между соседними образующими вычисляется по формуле:
$$\Theta_i^{\circ} = \arccos\left(\frac{L_{i-1}^2 + L_i^2 - L_{\text{хорд}}^2}{2 \cdot L_{i-1} \cdot L_i}\right),$$
если $i = 0$, то $\Theta_i^{\circ} = 0$,
где
Проводим вычисления точек развертки и результат заносим в таблицу:
| Параметры \ Индекс i | 0 | 1 | 2 | ... | n |
|---|---|---|---|---|---|
| $\Theta_i^{\circ}$ | $0^{\circ}$ | $\Theta_1^{\circ}$ | $\Theta_2^{\circ}$ | ... | $\Theta_n^{\circ}$ |
| $L_i'$ | $L_0'$ | $L_1'$ | $L_2'$ | ... | $L_n'$ |
| $L_i$ | $L_0$ | $L_1$ | $L_2$ | ... | $L_n$ |
Найдем угол развертки:
$$\Theta^{\circ} = \sum \Theta_i^{\circ}$$
Для построения развертки проводим вертикальную ось симметрии и на ней выбираем точку для вершины. Откладываем от оси симметрии угол $\frac{\Theta^{\circ}}{2}$ по часовой стрелке. В соответствии с таблицей, откладываем угол и длины $L_i$ и $L_i'$ от вершины. Проводим плавную линию через точки нижнего контура развертки. Проводим плавную линию через точки верхнего контура развертки. Соединяем верхний и нижний контур.