Тройник тип 2

Параметры:
	Диаметр $D$, мм Размер $L1$, мм Размер $L2$, мм Размер $L3$, мм

Аналитические формулы расчета размеров развертки

Патрубки, входящие в состав тройника, имеют одинаковую форму и отличаются только длиной.

Вывод формулы для построения развертки патрубка

Необходимые патрубки для тройника можно получить следующим образом:

1. 1) Усечь патрубок цилиндрический под углом $45^\circ$
2. 2) Повернуть патрубок на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг оси
3. 3) Второй раз усечь патрубок цилиндрический под углом $45^\circ$

Нарисуем два контура $y_1$ и $y_2$, соответствующие сечениям из пункта 1 и 3.

Закрасим область, которая является общей для фигур, ограниченных графиками $y_1$, $y_2$ и осью $\varphi^\circ$.

Внешний вид развертки будет зависеть от угла стыка $B^\circ$. На рисунке выше $B^\circ = 180^\circ$.

Развертку ограничивает контур, состоящий из двух или трех линий.

Формулы уравнений для разверток усеченного цилиндра можно записать следующим образом:
$y_1 = A_1 + A_2 + A_1 \cdot \cos(\varphi^\circ + B^\circ)$
$y_2 = A_1 + A_2 + A_1 \cdot \cos(\varphi^\circ + B^\circ + 90^\circ)$ или $y_2 = A_1 + A_2 - A_1 \cdot \sin(\varphi^\circ + B^\circ)$

Определим коэффициенты $A_1$ и $A_2$.
Для этого рассмотрим рисунок ниже.

$h = H - D \cdot \tan(A^\circ)$

$H' = H - S \cdot (1 - k) \cdot \tan(A^\circ)$

$h' = h + S \cdot (1 - k) \cdot \tan(A^\circ)$

$A_1 = \frac{H' - h'}{2} = \frac{H - h - 2 \cdot S \cdot (1 - k) \cdot \tan(A^\circ)}{2}$

$A_2 = h' = h + S \cdot (1 - k) \cdot \tan(A^\circ) = H - D \cdot \tan(A^\circ) + S \cdot (1 - k) \cdot \tan(A^\circ)$

Высота цилиндра определяется по формуле:

1. для патрубка 1 — $H = L_1 + \frac{D}{2}$
2. для патрубка 2 — $H = L_2 + \frac{D}{2}$
3. для патрубка 3 — $H = L_3 + \frac{D}{2}$

Описание параметров, показанных на рисунке, можно посмотреть в разделе справки "Патрубок цилиндрический тип 2".

Для построения верхнего контура развертки необходимо определить три отрезка на оси $\varphi^\circ$, где будут построены функции $y_1$ или $y_2$, причем $\varphi^\circ \in [0^\circ; 360^\circ]$.

Найдем точки пересечения наших функций.

$y_1 = y_2$

$A_1 + A_2 + A_1 \cdot \cos(\varphi^\circ + B^\circ) = A_1 + A_2 + A_1 \cdot \cos(\varphi^\circ + B^\circ + 90^\circ)$

$\cos(\varphi^\circ + B^\circ) = \cos(\varphi^\circ + B^\circ + 90^\circ)$

$\cos(\varphi^\circ + B^\circ + 90^\circ) - \cos(\varphi^\circ + B^\circ) = 0$

$-2 \cdot \sin\left(\frac{\varphi^\circ + B^\circ + 90^\circ + \varphi^\circ + B^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\varphi^\circ + B^\circ + 90^\circ - \varphi^\circ - B^\circ}{2}\right) = 0$

$\sin(\varphi^\circ + B^\circ + 45^\circ) \cdot \sin(45^\circ) = 0$

$\sin(\varphi^\circ + B^\circ + 45^\circ) = 0$

$\varphi^\circ + B^\circ + 45^\circ = \arcsin(0)$

$\varphi^\circ + B^\circ + 45^\circ = 180^\circ \cdot n$

$\varphi^\circ = -45^\circ - B^\circ + 180^\circ \cdot n$,

где

• $n \in \mathbb{Z}$ — целые числа.

Определим какое должно быть значение $n$ в зависимости от $B^\circ$.

На отрезке $\varphi^\circ \in [0^\circ; 360^\circ]$ будет два пересечения у наших функций $y_1$ или $y_2$.

Если

$0^\circ \le B^\circ < 135^\circ$, то $n = 1$ и $n = 2$

1. $\varphi_1 = -45^\circ - B^\circ + 180^\circ = 135^\circ - B^\circ$
2. $\varphi_2 = -45^\circ - B^\circ + 360^\circ = 315^\circ - B^\circ$

$135^\circ < B^\circ \le 315^\circ$, то $n = 2$ и $n = 3$

1. $\varphi_1 = -45^\circ - B^\circ + 360^\circ = 315^\circ - B^\circ$
2. $\varphi_2 = -45^\circ - B^\circ + 540^\circ = 495^\circ - B^\circ$

$315^\circ < B^\circ \le 360^\circ$, то $n = 3$ и $n = 4$

1. $\varphi_1 = -45^\circ - B^\circ + 540^\circ = 495^\circ - B^\circ$
2. $\varphi_2 = -45^\circ - B^\circ + 720^\circ = 675^\circ - B^\circ$

Определим в какой последовательности необходимо строить функции.

$y_1 = A_1 + A_2 + A_1 \cdot \cos\left(B^\circ + \varphi_1 + \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\right)$

$y_2 = A_1 + A_2 - A_1 \cdot \sin\left(B^\circ + \varphi_1 + \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2}\right)$

Если $y_1 < y_2$, то

1. 1) $y_2$, $\varphi^\circ \in [0^\circ; B^\circ + \varphi_1]$
2. 2) $y_1$, $\varphi^\circ \in [B^\circ + \varphi_1; B^\circ + \varphi_2]$
3. 3) $y_2$, $\varphi^\circ \in [B^\circ + \varphi_2; B^\circ + 360^\circ]$

Если $y_2 < y_1$, то

1. 1) $y_1$, $\varphi^\circ \in [0^\circ; B^\circ + \varphi_1]$
2. 2) $y_2$, $\varphi^\circ \in [B^\circ + \varphi_1; B^\circ + \varphi_2]$
3. 3) $y_1$, $\varphi^\circ \in [B^\circ + \varphi_2; B^\circ + 360^\circ]$

Если $\varphi_1 = 0$, то первый пункт не выполняется.

Для построения развертки перейдем от угловых величин к линейным вдоль оси $x$.

Каждый отрезок в градусах делится на меньшие отрезки по формуле:

$\Delta\varphi_1^\circ = \frac{\varphi_1^\circ}{n}$

$\Delta\varphi_2^\circ = \frac{\varphi_2^\circ - \varphi_1^\circ}{n}$

$\Delta\varphi_3^\circ = \frac{360^\circ - \varphi_2^\circ}{n}$

Тогда, координаты точек по оси X будут вычисляться по формулам:

где

• $i \in [0; m]$ — номер итерации;
• $m$ — точность построения. Количество точек, необходимых для построения развертки, $m \ge 6$.

Построение развёртки

Ось $Y$ на развертке направим справа налево.
Строить развертку будем от линии стыка.
Лицевая поверхность развертки соответствует внутренней поверхности патрубка.
Выполняем построение развертки для каждого патрубка.