Рассмотрим рисунок ниже.
Из прямоугольного треугольника $\triangle234$ найдем:
$$L_{24}=S\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$
Из прямоугольного треугольника $\triangle124$ найдем:
$$\Delta L=L_{24}\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)=S\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$
Следовательно,
$$D^*=D+2\cdot S\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$
Для прямоугольного треугольника $\triangle567$ найдем:
$$ \tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)= \frac{S\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)+\frac{D-d}{2}} {H^*} $$
$$H^*\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)-S\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)-\frac{D-d}{2}=0$$
$$2\cdot H^*\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)-2\cdot S\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)-(D-d)=0$$
Сделаем замену:
$$ \tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)= \frac{2\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} {1-\tan^2\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} $$
$$ \sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)= \frac{2\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} {1+\tan^2\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} $$
Получим:
$$ 2\cdot H^*\cdot \frac{2\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} {1-\tan^2\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} -2\cdot S\cdot \frac{2\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} {1+\tan^2\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} \cdot \frac{2\cdot\tan\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} {1-\tan^2\left(\frac{A^\circ}{4}\right)} -(D-d)=0 $$
Сделаем еще одну замену:
$$\tan\left(\frac{A^\circ}{4}\right)=t$$
Тогда уравнение примет вид:
$$ \frac{4H^*\cdot t}{1-t^2} - \frac{8S\cdot t^2}{(1-t^2)\cdot(1+t^2)} -(D-d)=0 $$
Т.к. $A^\circ\in(0^\circ;180^\circ),$ то $\frac{A^\circ}{4}\in(0^\circ;45^\circ).$ Следовательно, $t\in(0;1).$
Умножим левую и правую часть на $(1-t^2)\cdot(1+t^2).$
$$ \frac{4H^*\cdot t\cdot(1-t^2)\cdot(1+t^2)}{1-t^2} - \frac{8S\cdot t^2\cdot(1-t^2)\cdot(1+t^2)}{(1-t^2)\cdot(1+t^2)} -(D-d)\cdot(1-t^2)\cdot(1+t^2)=0 $$
$$4\cdot H^*\cdot t\cdot(1+t^2)-8\cdot S\cdot t^2-(D-d)\cdot(1-t^4)=0$$
$$(D-d)\cdot t^4+4\cdot H^*\cdot t^3-8\cdot S\cdot t^2+4\cdot H^*\cdot t-(D-d)=0$$
Запишем уравнение в общем виде:
$$A\cdot t^4+B\cdot t^3+C\cdot t^2+D\cdot t+E=0$$
где
$$A=D-d,\qquad B=4\cdot H^*,\qquad C=-8\cdot S,\qquad D=4\cdot H^*,\qquad E=-(D-d)$$
Решаем уравнение и выбираем корень, который удовлетворяет условию $t\in(0;1)$.
Далее находим угол $A^\circ$:
$$A^\circ=4\cdot\arctan(t)^\circ$$