Тройник тип 4. Развертка

Параметры:
	Угол $A_r$° Диаметр $D$, мм Диаметр $d$, мм Размер $L_p$, мм

Аналитические формулы расчета размеров развертки

Разделим тройник на два патрубка. Они одинаковые и развернуты относительно друг друга на $180^\circ$ вокруг своей оси. Для задания параметров построения развертки используем левый патрубок.

Этап 1. Параметры патрубка

Где:

• $H$ - высота конического патрубка;
• $H_1$ - высота левой грани конического патрубка;
• $H_2$ - высота правой грани конического патрубка;
• $D$ - внешний диаметр основания конического патрубка;
• $d$ - внешний диаметр вершины конического патрубка;
• $L_1$ - длина образующей;
• $L_2$ - длина образующей;
• $L_i$ - длина образующей на разверке, повернутой на угол $\omega_i^\circ$;
• $S$ - толщина листа;
• $k$ - коэффициент нейтрального слоя, $k \le 1$;
• $\theta^\circ$ - центральный угол развертки, $\theta^\circ=\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cdot360^\circ$;
• $A^\circ$ - угол конуса конического патрубка;
• $C_{\text{вх}1}^\circ$ - угол секущей плоскости;
• $C_{\text{вх}2}^\circ$ - угол секущей плоскости;
• $B^\circ$ - угол стыка, $B^\circ\in[0;360^\circ)$;
• $\varphi_n^\circ$ - угол, соответствующий дуге одного деления окружности или сектора, $\varphi_n^\circ=\frac{360^\circ}{n}$;
• $\theta_n^\circ$ - угол, соответствующий дуге одного деления центрального угла развертки, $\theta_n^\circ=\frac{\theta^\circ}{n}$;
• $\varphi_i^\circ$ - угол, соответствующий дуге окружности или сектора, для итерации $i$; $\varphi_i^\circ=i\cdot\varphi_n^\circ$;
• $\omega_i^\circ$ - угол, соответствующий дуге центрального угла развертки, для итерации $i$; $\omega_i^\circ=i\cdot\theta_n^\circ$;
• $n$ - точность построения. Количество точек, необходимых для построения развертки, $n\ge2\cdot m$;
• $m$ - натуральное число, $m\ge6$;
• $i$ - итерация построения развертки, $i\in[0;n]$;

1.1 Найдем углы $A^\circ$ и $B_p^\circ$

Решим уравнение

$$(D-d)\cdot t^4 + 4\cdot H^*\cdot t^3 - 8\cdot S\cdot t^2 + 4\cdot H^*\cdot t - (D-d)=0$$

$$H^*=L_p$$

$$A^\circ=4\cdot\operatorname{arctg}(t),\qquad t\in(0;1)$$

$$B_p^\circ=\frac{A^\circ}{2}$$

1.2 Углы секущей плоскости $C_{\text{вх}1}^\circ$ и $C_{\text{вх}2}^\circ$

$$C_{\text{вх}1}^\circ=A_r^\circ$$

$$C_{\text{вх}2}^\circ=90^\circ-A_r^\circ$$

1.3 Угол $\delta^\circ$ и смещение $\Delta X$

$$\delta^\circ=90^\circ$$

$$\Delta X=0$$

1.4 Формулы для определения длины образующих

$$ L_i = \begin{cases} \dfrac{1+\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(\varphi^\circ)}\cdot L_2, & \varphi^\circ\in[0^\circ;\delta^\circ]\cup[360^\circ-\delta^\circ;360^\circ] \\[10pt] \dfrac{1+\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(\varphi^\circ)}\cdot L_1, & \varphi^\circ\in[\delta^\circ;360^\circ-\delta^\circ] \end{cases} $$

$$L_0=\frac{d'}{2\cdot\sin(B_p^\circ)}$$

$$d'=d-2\cdot S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)$$

$$L_1=L_0+\frac{H_1}{\cos(B_p^\circ)}$$

$$ H_1= \frac{H^*-\frac{d}{2}\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)-\Delta X\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)} {1+\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)\cdot\tan(B_p^\circ)} $$

$$L_2=L_0+\frac{H_2}{\cos(B_p^\circ)}$$

$$ H_2= \frac{H^*-\frac{d}{2}\cdot\tan(C_{\text{вх}2}^\circ)+\Delta X\cdot\tan(C_{\text{вх}2}^\circ)} {1+\tan(C_{\text{вх}2}^\circ)\cdot\tan(B_p^\circ)} $$

$$ C_1^\circ=\operatorname{arctg}\left( \frac{H^*-H_1-S\sin(B_p^\circ)} {\frac{d}{2}+H_1\cdot\tan(B_p^\circ)+\Delta X'-S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)} \right) $$

$$ C_2^\circ=\operatorname{arctg}\left( \frac{H^*-H_2-S\sin(B_p^\circ)} {\frac{d}{2}+H_2\cdot\tan(B_p^\circ)-\Delta X'-S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)} \right) $$

$$\Delta X'=0\text{ т.к. }\delta^\circ=90^\circ$$

(Примечание: $\Delta X'$ и $\Delta X$ это разные смещения, см. 7) Расчет угла наклона секущей плоскости слева $C_1^\circ$ и 8) Расчет угла наклона секущей плоскости справа $C_2^\circ$.)

Этап 2. Построение развёртки

Проводим вертикально ось симметрии. На ней, выбрав точку для вершины, рисуем верхнюю дугу радиусом $L_0$ и углом $\theta$ симметрично относительно оси.

Для построения нижнего контура развертки переходим на луч $OO'$. Этот луч будет началом полярных координат, от которого мы отложим точки для кривой. Лицевая поверхность развертки в данном случае будет соответствовать внутренней поверхности конуса.

Рассмотрим один из вариантов построения развертки, когда угол $B^\circ$ лежит в I или IV квадранте.

Линия развертки будет состоять из трех кривых.

1) Построение первой кривой

$\gamma_1^\circ$ - угол дуги.

Если $B^\circ\in[0^\circ;90^\circ)$, то

$$\gamma_1^\circ=90^\circ-B^\circ.$$

Если $B^\circ\in(270^\circ;360^\circ)$, то

$$\gamma_1^\circ=450^\circ-B^\circ.$$

Координаты точек на развертке:

$$\omega_i^\circ=i\cdot\theta_n^\circ$$

$$ L_i= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+i\cdot\varphi_n^\circ)} \cdot L_2 $$

где

$i\in\left[0;\operatorname{Ceil}\left(\frac{\gamma_1^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)-1\right]$ - округляем $\operatorname{Ceil}\left(\frac{\gamma_1^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)$ до целого в большую сторону

Добавляем последнюю точку:

$$\omega_{i+1}^\circ=\gamma_1^\circ\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i+1}= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ)} \cdot L_2 $$

Проводим плавную линию через точки.

2) Построение второй кривой

$$\gamma_2^\circ=180^\circ$$

Координаты первой точки:

$$\omega_{i=0}^\circ=\gamma_1^\circ\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i=0}= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ)} \cdot L_2 $$

Координаты точек (кроме первой и последней) для второй кривой:

$$\omega_i^\circ=\omega_0^\circ+i\cdot\theta_n^\circ$$

$$ L_i= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+i\cdot\varphi_n^\circ)} \cdot L_1 $$

где

$i\in\left[1;\operatorname{Ceil}\left(\frac{\gamma_2^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)-1\right]$ - округляем $\operatorname{Ceil}\left(\frac{\gamma_2^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)$ до целого в большую сторону

Добавляем последнюю точку для данной кривой:

$$\omega_{i+1}^\circ=(\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i+1}= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)} \cdot L_1 $$

Проводим плавную линию через точки.

3) Построение третьей кривой

$$\gamma_3^\circ=360^\circ-\gamma_1^\circ-\gamma_2^\circ.$$

Координаты первой точки:

$$\omega_{i=0}^\circ=(\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i=0}= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)} \cdot L_1 $$

Координаты точек (кроме первой и последней) для третьей кривой:

$$\omega_i^\circ=\omega_0^\circ+i\cdot\theta_n^\circ$$

$$ L_i= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ+i\cdot\varphi_n^\circ)} \cdot L_2 $$

где

$i\in\left[1;\operatorname{Ceil}\left(\frac{\gamma_3^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)-1\right]$ - округляем $\operatorname{Ceil}\left(\frac{\gamma_3^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)$ до целого в большую сторону

Добавляем последнюю точку для данной кривой:

$$\omega_{i+1}^\circ=(\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ+\gamma_3^\circ)\cdot\sin\left(\frac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i+1}= \frac{1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\frac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ+\gamma_3^\circ)} \cdot L_2 $$

Соединяем полученные кривые и верхний контур в единую развертку.