Методика расчета координат точек, находящихся на линии пересечения двух круговых конусов, описана в книге “Лессиг Е.Н., Лилеев А.Ф., Соколов А.Г. Листовые металлические конструкции” страницы 47-53.
На рисунке ниже приведены обозначения и схема пересечения конусов, принятые в книге.
Заданы следующие величины: углы конусов $B_{tr}^\circ$ и $B_p^\circ$, расстояния $a_1$ и $a_2$ от пересечения проекций осей $O_1y_1$ и $O_2y_2$ на плоскость $xOy$ до вершин конусов и угол $A_r^\circ$ между этими же проекциями осей. Для удобства развертки длина образующей $l$ в местах пересечения должна быть выражена через центральный угол $\gamma^\circ$.
Для дальнейших преобразований выведем несколько вспомогательных формул.
Перенесем систему координат $O_1(x_1y_1z_1)$ в $O_1'(x_1'y_1'z_1')$ - точку пересечения проекций осей $O_1y_1$ и $O_2y_2$.
$$ O_1'(x_1'y_1'z_1') \begin{cases} x_1'=x_1,\\ y_1'=y_1-a_1,\\ z_1'=z_1. \end{cases} \tag{1} $$
Также перенесем систему координат $O_2(x_2y_2z_2)$ в $O_2'(x_2'y_2'z_2')$ - точку пересечения проекций осей $O_1y_1$ и $O_2y_2$.
$$ O_2'(x_2'y_2'z_2') \begin{cases} x_2'=x_2,\\ y_2'=y_2-a_2,\\ z_2'=z_2. \end{cases} \tag{2} $$
На рисунке выше видно, что $O_1'(x_1'y_1'z_1')$ получается из $O_2'(x_2'y_2'z_2')$ поворотом на угол $A_r^\circ$ против часовой стрелки. Ось $O_2'z_2'$ направлена на наблюдателя. Следовательно, координаты связаны формулой поворота. Запишем ее:
$$ O_2'(x_2'y_2'z_2') \begin{cases} x_2'=x_1'\cdot\cos(A_r^\circ)-y_1'\cdot\sin(A_r^\circ),\\ y_2'=x_1'\cdot\sin(A_r^\circ)+y_1'\cdot\cos(A_r^\circ),\\ z_2'=z_1'. \end{cases} \tag{3} $$
Подставим значения координат $x_1'$, $y_1'$, $x_2'$, $y_2'$ из формул (1) и (2) в формулу (3).
$$x_2=x_1\cdot\cos(A_r^\circ)-(y_1-a_1)\cdot\sin(A_r^\circ) \tag{4}$$
$$y_2-a_2=x_1\cdot\sin(A_r^\circ)+(y_1-a_1)\cdot\cos(A_r^\circ)\quad\Longrightarrow$$
$$y_2=x_1\cdot\sin(A_r^\circ)+(y_1-a_1)\cdot\cos(A_r^\circ)+a_2 \tag{5}$$
Из рисунков ниже найдем:
$$x_1=l_1\cdot\sin(B_{tr}^\circ)\cdot\sin(\gamma_1^\circ)$$
$$x_2=l_2\cdot\sin(B_p^\circ)\cdot\sin(\gamma_2^\circ) \tag{6}$$
$$y_1=l_1\cdot\cos(B_{tr}^\circ)$$
$$y_2=l_2\cdot\cos(B_p^\circ) \tag{7}$$
$$z_1=l_1\cdot\sin(B_{tr}^\circ)\cdot\cos(\gamma_1^\circ)$$
$$z_2=l_2\cdot\sin(B_p^\circ)\cdot\cos(\gamma_2^\circ) \tag{8}$$
Подставив соответствующие значения $x_1$ и $y_1$ из формул (6) и (7) в (4) и (5), получим значения $x_2$ и $y_2$ в функции от координат первой системы:
$$x_2=l_1\cdot\left(\sin(B_{tr}^\circ)\cdot\sin(\gamma_1^\circ)\cdot\cos(A_r^\circ)-\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\right)+a_1\cdot\sin(A_r^\circ) \tag{9}$$
$$y_2=l_1\cdot\left(\sin(B_{tr}^\circ)\cdot\sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)+\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\cos(A_r^\circ)\right)-a_1\cdot\cos(A_r^\circ)+a_2 \tag{10}$$
Уравнения направляющих для конусов 1 и 2 в точке пересечения запишем в следующем виде
$$x_1^2+y_1^2=r_1^2,\quad\text{где}\quad r_1=z_1\cdot\tan(B_{tr}^\circ)$$
$$x_2^2+y_2^2=r_2^2,\quad\text{где}\quad r_2=z_2\cdot\tan(B_p^\circ)$$
или
$$x_1^2+y_1^2=z_1^2\cdot\tan^2(B_{tr}^\circ) \tag{11}$$
$$x_2^2+y_2^2=z_2^2\cdot\tan^2(B_p^\circ) \tag{12}$$
Подставив в формулу (12) значения $x_2$ и $y_2$ из формул (4) и (5) и значение
$$z_2=z_1-e \tag{13}$$
получим:
$$ \left[x_1\cdot\cos(A_r^\circ)-(y_1-a_1)\cdot\sin(A_r^\circ)\right]^2+(z_1-e)^2= \left[x_1\cdot\sin(A_r^\circ)+(y_1-a_1)\cdot\cos(A_r^\circ)+a_2\right]^2\cdot\tan^2(B_p^\circ) \tag{14} $$
После замены в формуле (14) значений $x_1$ и $y_1$ значениями из формул (6) и (7) и проведения преобразований получим квадратное уравнение:
$$A\cdot l_1^2+B\cdot l_1+C=0$$
где
$$ A=\dfrac{1}{\cos^2(B_p^\circ)}\cdot \left[ \cos^2(B_p^\circ)- \left(\sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\cdot\sin(B_{tr}^\circ)+\cos(A_r^\circ)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\right)^2 \right] $$
$$ B=2\cdot\left\{ \sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\cdot\sin(B_{tr}^\circ)\cdot \left(\dfrac{a_1\cdot\cos(A_r^\circ)}{\cos^2(B_p^\circ)}-a_2\cdot\tan^2(B_p^\circ)\right) -\cos(\gamma_1^\circ)\cdot e\cdot\sin(B_{tr}^\circ) -a_1\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\cdot \left(1-\dfrac{\cos^2(A_r^\circ)}{\cos^2(B_p^\circ)}\right) -a_2\cdot\cos(A_r^\circ)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\tan^2(B_p^\circ) \right\} $$
$$ C=a_1^2\cdot\sin^2(A_r^\circ)+e^2-\left(a_1\cdot\cos(A_r^\circ)-a_2\right)^2\cdot\tan^2(B_p^\circ) $$
Каждому значению $\gamma_1^\circ$ соответствуют два значения длины образующей:
$$l_1=\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$$
Вещественное значение $l_1$ будет в случае удовлетворения следующего неравенства:
$$B^2\ge4\cdot A\cdot C$$