$$B_{tr}^\circ=\dfrac{A_{tr}^\circ}{2}$$
$$B_p^\circ=\dfrac{A_p^\circ}{2}$$
$$D_{tr}^*=d_{tr}+2\cdot L_{27}$$
Из $\triangle278$
$$L_{27}=L_{tr}\cdot\tan(B_{tr}^\circ)$$
$$D_{tr}^*=d_{tr}+2\cdot L_{tr}\cdot\tan(B_{tr}^\circ)$$
Из $\triangle123$:
$$L_{13}=\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\cos(B_{tr}^\circ)$$
Длина $L_{13}$ также является радиусом $R$. Следовательно,
$$R=\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\cos(B_{tr}^\circ)$$
Из $\triangle145$:
$$L_{14}=\dfrac{R}{\cos(B_p^\circ)},\quad\text{т.к. }L_{13}=L_{15}=R$$
$$D_p^*=2\cdot\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\dfrac{\cos(B_{tr}^\circ)}{\cos(B_p^\circ)} =D_{tr}^*\cdot\dfrac{\cos(B_{tr}^\circ)}{\cos(B_p^\circ)}$$
$$a_1=\dfrac{\dfrac{D_{tr}^*}{2}}{\tan(B_{tr}^\circ)}=\dfrac{D_{tr}^*}{2\cdot\tan(B_{tr}^\circ)}$$
$$ a_2=\dfrac{\dfrac{D_p^*}{2}}{\tan(B_p^\circ)} =\dfrac{D_p^*}{2\cdot\tan(B_p^\circ)} =\dfrac{D_{tr}^*\cdot\dfrac{\cos(B_{tr}^\circ)}{\cos(B_p^\circ)}}{2\cdot\tan(B_p^\circ)} =\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{2\cdot\cos(B_p^\circ)\cdot\tan(B_p^\circ)} =\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{2\cdot\cos(B_p^\circ)\cdot\dfrac{\sin(B_p^\circ)}{\cos(B_p^\circ)}} =\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{2\cdot\sin(B_p^\circ)} $$
$$a_2=\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{2\cdot\sin(B_p^\circ)}$$
Из $\triangle469$
$$ \tan(B_p^\circ)=\dfrac{L_{46}}{L_{69}}, \qquad L_{46}=L_{14}-\dfrac{d_p}{2}=\dfrac{R}{\cos(B_p^\circ)}-\dfrac{d_p}{2} =\dfrac{2\cdot R-d_p\cdot\cos(B_p^\circ)}{2\cdot\cos(B_p^\circ)}, \quad L_{69}=L_p, $$
$$\tan(B_p^\circ)= \dfrac{\dfrac{2\cdot R-d_p\cdot\cos(B_p^\circ)}{2\cdot\cos(B_p^\circ)}}{L_p} $$
$$\tan(B_p^\circ)=\dfrac{2\cdot R-d_p\cdot\cos(B_p^\circ)}{2\cdot L_p\cdot\cos(B_p^\circ)}$$
$$\dfrac{\sin(B_p^\circ)}{\cos(B_p^\circ)}=\dfrac{2\cdot R-d_p\cdot\cos(B_p^\circ)}{2\cdot L_p\cdot\cos(B_p^\circ)}$$
$$\sin(B_p^\circ)=\dfrac{2\cdot R-d_p\cdot\cos(B_p^\circ)}{2\cdot L_p}$$
$$2\cdot L_p\cdot\sin(B_p^\circ)+d_p\cdot\cos(B_p^\circ)=2\cdot R$$
Сделаем замену:
$$A=2\cdot L_p$$
$$B=d_p$$
$$C=2\cdot R=2\cdot\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\cos(B_{tr}^\circ)=D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)$$
$$\gamma^\circ=B_p^\circ,\quad\text{причем }\gamma^\circ\in(0^\circ;90^\circ)$$
$\displaystyle A\cdot\sin(\gamma^\circ)+B\cdot\cos(\gamma^\circ)=C$
У нас получилось неоднородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Решим его.
Разделим обе части на $\sqrt{A^2+B^2}$
$$\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot\sin(\gamma^\circ)+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot\cos(\gamma^\circ)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\cos(t^\circ)=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\sin(t^\circ)=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\cos(t^\circ)\cdot\sin(\gamma^\circ)+\sin(t^\circ)\cdot\cos(\gamma^\circ)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
По формуле синуса суммы двух углов делаем преобразование:
$$\sin(\gamma^\circ+t^\circ)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\sin\left(\gamma^\circ+\arcsin\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)\right)=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
$$\gamma^\circ+\arcsin\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)=(-1)^n\cdot\arcsin\left(\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ+180^\circ\cdot n,\quad n\in Z$$
$$\gamma^\circ=(-1)^n\cdot\arcsin\left(\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ-\arcsin\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ+180^\circ\cdot n,\quad n\in Z$$
т.к. $\gamma^\circ\in(0^\circ;90^\circ)$, то выберем $n=0$.
Получим:
$$\gamma^\circ=\arcsin\left(\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ-\arcsin\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ$$
Если неравенство не выполняется $-1\le\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\le1$, то решения нет.
Вместо проверки $-1\le\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\le1$ можно использовать другую формулу $A^2+B^2-C^2\ge0$
Тогда, $A_p^\circ=2\cdot B_p^\circ=2\cdot\gamma^\circ$
или
$$A_p^\circ=2\cdot\left(\arcsin\left(\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ-\arcsin\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^\circ\right)$$
или
$$A_p^\circ=2\cdot\left( \arcsin\left(\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{\sqrt{(2\cdot L_p)^2+d_p^2}}\right)^\circ -\arcsin\left(\dfrac{d_p}{\sqrt{(2\cdot L_p)^2+d_p^2}}\right)^\circ \right)$$
Упрощаем
$$A_p^\circ=2\cdot\left( \arcsin\left(\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{\sqrt{4\cdot L_p^2+d_p^2}}\right)^\circ -\arcsin\left(\dfrac{d_p}{\sqrt{4\cdot L_p^2+d_p^2}}\right)^\circ \right)$$