Вывод формулы длины образующей конуса через центральный угол $\varphi^\circ$ описан в книге “Лессиг Е.Н., Лилеев А.Ф., Соколов А.Г. Листовые металлические конструкции”. Для случая, когда секущие поверхности пересекаются, как на рисунке ниже,
уравнение для расчета длины образующей конуса выглядит следующим образом:
$$ L_i= \begin{cases} \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos\varphi^\circ}\cdot L_2, & \varphi^\circ\in[0^\circ;\delta^\circ]\cup[360^\circ-\delta^\circ;360^\circ] \\[10pt] \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos\varphi^\circ}\cdot L_1, & \varphi^\circ\in[\delta^\circ;360^\circ-\delta^\circ] \end{cases} $$
При значении $\varphi^\circ=\delta^\circ$ длины образующих будут одинаковыми, поэтому формулы можно приравнять.
$$ \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)}\cdot L_1 = \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)}\cdot L_2 $$
$$ \left(L_1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1\right)\cdot \left(1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)\right) = \left(L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2\right)\cdot \left(1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)\right) $$
Для удобства группировки выделим отдельные выражения цветом.
1) $\displaystyle L_1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1+$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)\cdot L_1$ $\displaystyle +$ $\displaystyle \tan^2\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle =L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2-$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)\cdot L_2$ $\displaystyle -$ $\displaystyle \tan^2\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(\delta^\circ)$
2) $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot$ $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle \cdot L_1$ $\displaystyle +$ $\displaystyle \tan^2\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot$ $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle +$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot$ $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle \cdot L_2$ $\displaystyle +$ $\displaystyle \tan^2\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot$ $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle =-L_1-$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1+L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2$
3) $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle \cdot$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$ $\displaystyle \cdot($ $\displaystyle \tan(C_2^\circ)\cdot L_1+$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1\cdot\tan(C_2^\circ)$ $\displaystyle +$ $\displaystyle \tan(C_1^\circ)\cdot L_2+$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2\cdot\tan(C_1^\circ)$ $\displaystyle )=-L_1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1+L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2$
4) $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle \cdot$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$ $\displaystyle \cdot($ $\displaystyle \tan(C_2^\circ)\cdot L_1+\tan(C_1^\circ)\cdot L_2+$ $\displaystyle \tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot(L_1+L_2)$ $\displaystyle )=L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2-L_1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1$
5) $\displaystyle \cos(\delta^\circ)$ $\displaystyle = \dfrac{L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2-L_1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1} {\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\left(\tan(C_2^\circ)\cdot L_1+\tan(C_1^\circ)\cdot L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot(L_1+L_2)\right)}$
6) $\displaystyle \delta^\circ=\arccos\left( \dfrac{L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2-L_1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1} {\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\left(\tan(C_2^\circ)\cdot L_1+\tan(C_1^\circ)\cdot L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot(L_1+L_2)\right)} \right) $
Рассмотрим рисунок ниже и найдем $\Delta X_{tr}$ и $\delta_{tr}^\circ$.
Подставим значения в уравнение выше
$\displaystyle \dfrac{A^\circ}{2}=B_{tr}^\circ$
$\displaystyle C_1^\circ=C_{Bx1}^\circ$
$\displaystyle C_2^\circ=0^\circ$
$\displaystyle \delta^\circ=\delta_{tr}^\circ$
$$ \delta_{tr}^\circ=\arccos\left( \dfrac{L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot L_2-L_1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot L_1} {\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\left(\tan(C_2^\circ)\cdot L_1+\tan(C_1^\circ)\cdot L_2+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot(L_1+L_2)\right)} \right) $$
$$ \delta_{tr}^\circ=\arccos\left( \dfrac{L_2+\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(0^\circ)\cdot L_2-L_1-\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_{Bx1}^\circ)\cdot L_1} {\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\left(\tan(0^\circ)\cdot L_1+\tan(C_{Bx1}^\circ)\cdot L_2+\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_{Bx1}^\circ)\cdot\tan(0^\circ)\cdot(L_1+L_2)\right)} \right) $$
$$ \delta_{tr}^\circ=\arccos\left( \dfrac{L_2-L_1-\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_{Bx1}^\circ)\cdot L_1} {\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_{Bx1}^\circ)\cdot L_2} \right) $$
Длину образующей $L_2$ найдем по формуле
$$L_2=\dfrac{D_{tr}^*}{2\cdot\sin(B_{tr}^\circ)}$$
Для нахождения $L_1$ необходимо решить уравнение:
$$A\cdot t^2+B\cdot t+C=0$$
Для удобства восприятия в параметрах уравнения выделим отдельные выражения цветом:
$\displaystyle A=$ $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^2(B_p^\circ)}$ $\displaystyle \cdot\bigl[$ $\displaystyle \cos^2(B_p^\circ)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle \left(\sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\cdot\sin(B_{tr}^\circ)+\cos(A_r^\circ)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\right)^2$ $\displaystyle \bigr]$
$\displaystyle B=2\cdot\bigl\{$ $\displaystyle \sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\cdot\sin(B_{tr}^\circ)\cdot\left(\dfrac{a_1\cdot\cos(A_r^\circ)}{\cos^2(B_p^\circ)}-a_2\cdot\tan^2(B_p^\circ)\right)$ $\displaystyle -\cos(\gamma_1^\circ)\cdot e\cdot\sin(B_{tr}^\circ)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle a_1\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\left(1-\dfrac{\cos^2(A_r^\circ)}{\cos^2(B_p^\circ)}\right)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle a_2\cdot\cos(A_r^\circ)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\tan^2(B_p^\circ)$ $\displaystyle \bigr\}$
$\displaystyle C=$ $\displaystyle a_1^2\cdot\sin^2(A_r^\circ)$ $\displaystyle +$ $\displaystyle e^2$ $\displaystyle -$ $\displaystyle \left(a_1\cdot\cos(A_r^\circ)-a_2\right)^2\cdot\tan^2(B_p^\circ)$
$\displaystyle e=0$ т.к. конусы не смещены друг относительно друга
$$\gamma_1^\circ=270^\circ$$
$$a_1=\dfrac{D_{tr}^*}{2\cdot\tan(B_{tr}^\circ)}$$
$$a_2=\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{2\cdot\sin(B_p^\circ)}$$
Корни уравнения вычисляются по формуле
$$t_1=\dfrac{-B-\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$$
$$t_2=\dfrac{-B+\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$$
Выбираем минимальное значение $t$
$$L_1=\operatorname{MIN}(t_1,t_2)$$
Для нахождения $\Delta X_{tr}$ рассмотрим рисунок
Координаты точки $P$ в системе координат $x_1y_1z_1$
$\displaystyle x_1=\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\cos(\delta_{tr}^\circ)$ Если $\delta_{tr}^\circ<90^\circ$, то $x_1>0$. Если $\delta_{tr}^\circ\in[90^\circ;180^\circ]$, то $x_1\le0$.
$\displaystyle z_1=\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\sin(\delta_{tr}^\circ)$ Если $\delta_{tr}^\circ\in[0^\circ;180^\circ]$, то $z_1\ge0$.
$\displaystyle y_1=a_1$ Задано по условию задачи.
Проекция координаты точки $P$ на ось $x_1$ и будет $\Delta X_{tr}$.
Следовательно,
$\displaystyle \Delta X_{tr}=\dfrac{D_{tr}^*}{2}\cdot\cos(\delta_{tr}^\circ)$