Вычислим координаты точки $P$ в системе координат патрубка $x_2y_2z_2$.
Для этого в формулы (4) и (5) подставим координаты точки $P$, вычисленные ранее $x_1=\Delta X_{tr}$, $y_1=a_1$
$\displaystyle x_2=$ $\displaystyle x_1\cdot\cos(A_r^\circ)-(y_1-a_1)\cdot\sin(A_r^\circ)=$ $\displaystyle \Delta X_{tr}$ $\displaystyle \cdot\cos(A_r^\circ)-$ $\displaystyle (a_1$ $\displaystyle -a_1)$ $\displaystyle \cdot\sin(A_r^\circ)=$ $\displaystyle \Delta X_{tr}\cdot\cos(A_r^\circ)$
$\displaystyle y_2=$ $\displaystyle x_1\cdot\sin(A_r^\circ)+(y_1-a_1)\cdot\cos(A_r^\circ)+a_2=$ $\displaystyle \Delta X_{tr}$ $\displaystyle \cdot\sin(A_r^\circ)+$ $\displaystyle (a_1$ $\displaystyle -a_1)$ $\displaystyle \cdot\cos(A_r^\circ)+a_2=\Delta X_{tr}\cdot\sin(A_r^\circ)+a_2$
Следовательно,
$$x_2=\Delta X_{tr}\cdot\cos(A_r^\circ)$$
$$y_2=\Delta X_{tr}\cdot\sin(A_r^\circ)+a_2$$
Тогда,
$$\Delta X_p=\Delta X_{tr}\cdot\cos(A_r^\circ)$$
$$\Delta H_p=y_2-a_2=\Delta X_{tr}\cdot\sin(A_r^\circ)$$
$$H^*=L_p+\Delta H_p=L_p+\Delta X_{tr}\cdot\sin(A_r^\circ)$$
Найдем угол $\delta_p^\circ$. Для этого, используя формулы (6) и (7) и вычисленные значения $x_2$ и $y_2$ найдем угол $\gamma_2^\circ$.
$$x_2=l_2\cdot\sin(B_p^\circ)\cdot\sin(\gamma_2^\circ)$$
$$y_2=l_2\cdot\cos(B_p^\circ)$$
Разделим одно уравнение на другое
$$\dfrac{x_2}{y_2}=\dfrac{l_2\cdot\sin(B_p^\circ)\cdot\sin(\gamma_2^\circ)}{l_2\cdot\cos(B_p^\circ)}$$
$$\dfrac{x_2}{y_2}=\tan(B_p^\circ)\cdot\sin(\gamma_2^\circ)$$
$$\sin(\gamma_2^\circ)=\dfrac{x_2}{y_2\cdot\tan(B_p^\circ)}$$
$$\gamma_2^\circ=\arcsin\left(\dfrac{x_2}{y_2\cdot\tan(B_p^\circ)}\right)$$
Угол $\varphi_2^\circ$ связан с углом $\gamma_2^\circ$ формулой $\varphi_2^\circ=90^\circ-\gamma_2^\circ$.
Найденные формулы для угла $\varphi_2^\circ$ - это наш угол $\delta_p^\circ$, а также $x_2=\Delta X_p$ и $y_2=\Delta H_p+a_2$.
Запишем итоговую формулу
$$\delta_p^\circ=90^\circ-\arcsin\left(\dfrac{\Delta X_p}{(\Delta H_p+a_2)\cdot\tan(B_p^\circ)}\right)$$