Тройник тип 5

Параметры:
	Параметры центрального патрубка: Диаметр $D_{tr}$, мм Диаметр $d_{tr}$, мм Размер $L_{tr}$, мм Параметры наклонного патрубка: Диаметр $d_p$, мм Размер $L_p$, мм Угол наклона патрубков: Угол $A_r^\circ$ Угол наклона секущей плоскости: Угол $E_{34}^\circ$ - вычисляемый параметр

Аналитические формулы расчета размеров развертки:

Разделим тройник на два патрубка.

Этап 1. Найдем параметры для центрального патрубка.

где

• $H$ - высота конического патрубка;
• $H_1$ - высота левой грани конического патрубка;
• $H_2$ - высота правой грани конического патрубка;
• $D$ - внешний диаметр основания конического патрубка, измеряемый от границы фаски;
• $D_{tr}^*$ - внешний диаметр основания конического патрубка, если продлить образующую конуса до основания, как на выноске I;
• $d_{tr}$ - внешний диаметр вершины конического патрубка;
• $L_1$ - длина образующей;
• $L_2$ - длина образующей;
• $L_i$ - длина образующей на разверке, повернутой на угол $\omega_i^\circ$;
• $S$ - толщина листа;
• $k$ - коэффициент нейтрального слоя, $k\le1$;
• $\theta^\circ$ - центральный угол развертки, $\theta^\circ=\sin\left(\dfrac{A_{tr}^\circ}{2}\right)\cdot360^\circ$;
• $A_{tr}^\circ$ - угол конуса конического патрубка;
• $B_{tr}^\circ$ - угол равный половине угла конуса, $B_{tr}^\circ=\dfrac{A_{tr}^\circ}{2}$;
• $C_{\text{вх}1}^\circ$ - угол секущей плоскости;
• $C_{\text{вх}2}^\circ$ - угол секущей плоскости;
• $B^\circ$ - угол стыка, $B^\circ\in[0;360^\circ)$;
• $\varphi_n^\circ$ - угол, соответствующий дуге одного деления окружности или сектора, $\varphi_n^\circ=\dfrac{360^\circ}{n}$;
• $\theta_n^\circ$ - угол, соответствующий дуге одного деления центрального угла развертки, $\theta_n^\circ=\dfrac{\theta^\circ}{n}$;
• $\varphi_i^\circ$ - угол, соответствующий дуге окружности или сектора, для итерации $i$; $\varphi_i^\circ=i\cdot\varphi_n^\circ$;
• $\omega_i^\circ$ - угол, соответствующий дуге центрального угла развертки, для итерации $i$; $\omega_i^\circ=i\cdot\theta_n^\circ$;
• $n$ - точность построения. Количество точек, необходимых для построения развертки, $n\ge2\cdot m$;
• $m$ - натуральное число, $m\ge6$;
• $i$ - итерация построения развертки, $i\in[0;n]$;

1.1 Найдем углы $A_{tr}^\circ$ и $B_{tr}^\circ$

Решим уравнение

$$(D-d_{tr})\cdot t^4+4\cdot L_{tr}\cdot t^3-8\cdot S\cdot t^2+4\cdot L_{tr}\cdot t-(D-d_{tr})=0$$

$$A_{tr}^\circ=4\cdot\arctan(t),\qquad t\in(0;1)$$

$$B_{tr}^\circ=\dfrac{A_{tr}^\circ}{2}$$

1.2 Внешний диаметр $D_{tr}^*$

$$D_{tr}^*=d_{tr}+2\cdot L_{tr}\cdot\tan(B_{tr}^\circ)$$

1.3 Угол конуса наклонного патрубка $A_p^\circ$ и $B_p^\circ$

$$A_p^\circ=2\cdot\left( \arcsin\left(\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{\sqrt{4\cdot L_p^2+d_p^2}}\right) -\arcsin\left(\dfrac{d_p}{\sqrt{4\cdot L_p^2+d_p^2}}\right) \right)$$

$$B_p^\circ=\dfrac{A_p^\circ}{2}$$

1.4 Углы секущих плоскостей $C_{\text{вх}1}^\circ$ и $C_{\text{вх}2}^\circ$

$$C_{\text{вх}1}^\circ=90^\circ-E_{34}^\circ$$

$$ E_{34}^\circ=\arctan\left( \dfrac{\left(\sin(U_1^\circ)-\sin(U_2^\circ)\right)\cdot\sin(U_6^\circ)+\left(\sin(U_2^\circ)+\sin(U_4^\circ)\right)\cdot\sin(U_7^\circ)} {\left(\cos(U_1^\circ)+\cos(U_2^\circ)\right)\cdot\sin(U_6^\circ)+\left(\cos(U_2^\circ)+\cos(U_4^\circ)\right)\cdot\sin(U_7^\circ)} \right) $$

$$U_1^\circ=A_r^\circ+B_p^\circ$$

$$U_2^\circ=B_{tr}^\circ$$

$$U_4^\circ=A_r^\circ-B_p^\circ$$

$$U_6^\circ=A_r^\circ-B_p^\circ-B_{tr}^\circ$$

$$U_7^\circ=A_r^\circ+B_p^\circ+B_{tr}^\circ$$

$$C_{\text{вх}2}^\circ=0$$

1.5 Угол $\delta^\circ$ и смещение $\Delta X_{tr}$

$$\delta_{tr}^\circ=\arccos\left(\dfrac{L_2^*-L_1^*-\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)\cdot L_1^*} {\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)\cdot L_2^*}\right)$$

$$L_2^*=\dfrac{D_{tr}}{2\cdot\sin(B_{tr}^\circ)}$$

Для нахождения $L_1^*$ необходимо решить уравнение $A\cdot t^2+B\cdot t+C=0$.

Тогда, $L_1^*=\operatorname{MIN}(t_1,t_2)$ - выбираем минимальный корень уравнения

Для удобства восприятия в параметрах уравнения выделим отдельные выражения цветом:

$\displaystyle A=$ $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^2(B_p^\circ)}$ $\displaystyle \cdot\bigl[$ $\displaystyle \cos^2(B_p^\circ)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle \left(\sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\cdot\sin(B_{tr}^\circ)+\cos(A_r^\circ)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\right)^2$ $\displaystyle \bigr]$

$\displaystyle B=2\cdot\bigl\{$ $\displaystyle \sin(\gamma_1^\circ)\cdot\sin(A_r^\circ)\cdot\sin(B_{tr}^\circ)\cdot\left(\dfrac{a_1\cdot\cos(A_r^\circ)}{\cos^2(B_p^\circ)}-a_2\cdot\tan^2(B_p^\circ)\right)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle a_1\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\left(1-\dfrac{\cos^2(A_r^\circ)}{\cos^2(B_p^\circ)}\right)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle a_2\cdot\cos(A_r^\circ)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)\cdot\tan^2(B_p^\circ)$ $\displaystyle \bigr\}$

$\displaystyle C=$ $\displaystyle a_1^2\cdot\sin^2(A_r^\circ)$ $\displaystyle -$ $\displaystyle \left(a_1\cdot\cos(A_r^\circ)-a_2\right)^2\cdot\tan^2(B_p^\circ)$

$$\gamma_1^\circ=270^\circ$$

$$a_1=\dfrac{D_{tr}^*}{2\cdot\tan(B_{tr}^\circ)}$$

$$a_2=\dfrac{D_{tr}^*\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}{2\cdot\sin(B_p^\circ)}$$

Корни уравнения:

$$t_1=\dfrac{-B-\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$$

$$t_2=\dfrac{-B+\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$$

$$\Delta X_{tr}=\dfrac{D_{tr}}{2}\cdot\cos(\delta^\circ)$$

1.6 Формулы для определения длины образующих

$$ L_i= \begin{cases} L_2, & \varphi_i^\circ\in[0^\circ;\delta_{tr}^\circ]\cup[360^\circ-\delta_{tr}^\circ;360^\circ] \\[10pt] \dfrac{1+\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan(B_{tr}^\circ)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos\varphi_i^\circ}\cdot L_1, & \varphi_i^\circ\in[\delta_{tr}^\circ;360^\circ-\delta_{tr}^\circ] \end{cases} $$

$$L_0=\dfrac{d_{tr}'}{2\cdot\sin(B_{tr}^\circ)}$$

$$d_{tr}'=d_{tr}-2\cdot S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)$$

$$L_1=L_0+\dfrac{H_1}{\cos(B_{tr}^\circ)}$$

$$H_1=\dfrac{L_{tr}-\dfrac{d_{tr}}{2}\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)-\Delta X_{tr}\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)} {1+\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)\cdot\tan(B_{tr}^\circ)}$$

$$L_2=\dfrac{D'}{2\cdot\sin(B_{tr}^\circ)}$$

$$D'=D-2\cdot S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)$$

$$C_1^\circ=\arctan\left(\dfrac{L_{tr}-H_1-S\cdot\sin(B_{tr}^\circ)} {\dfrac{d_{tr}}{2}+H_1\cdot\tan(B_{tr}^\circ)+\Delta X_{tr}'-S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_{tr}^\circ)}\right)$$

$$\Delta X_{tr}'=\dfrac{D'}{2}\cdot\cos(\delta_{tr}^\circ)$$

Этап 2. Найдем параметры для наклонного патрубка.

Параметры $A_p^\circ$, $B_p^\circ$, $E_{34}^\circ$, $\delta^\circ$, $a_1$, $a_2$, $\Delta X_{tr}$ найдены выше.

2.1 Углы секущей плоскости $C_{\text{вх}1}^\circ$ и $C_{\text{вх}2}^\circ$

$$C_{\text{вх}1}^\circ=A_r^\circ$$

$$C_{\text{вх}2}^\circ=E_{34}^\circ+90^\circ-A_r^\circ$$

2.2 Угол $\delta^\circ$, смещение $\Delta X_p$ и высота патрубка $H^*$

$$\Delta X_p=\Delta X_{tr}\cdot\cos(A_r^\circ)$$

$$\Delta H_p=\Delta X_{tr}\cdot\sin(A_r^\circ)$$

$$H^*=L_p+\Delta H_p$$

$$\delta_p^\circ=90^\circ-\arcsin\left(\dfrac{\Delta X_p}{(\Delta H_p+a_2)\cdot\tan(B_p^\circ)}\right)$$

2.3 Формулы для определения длины образующих

$$ L_i= \begin{cases} \dfrac{1+\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos\varphi_i^\circ}\cdot L_2, & \varphi_i^\circ\in[0^\circ;\delta_p^\circ]\cup[360^\circ-\delta_p^\circ;360^\circ] \\[10pt] \dfrac{1+\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan(B_p^\circ)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos\varphi_i^\circ}\cdot L_1, & \varphi_i^\circ\in[\delta_p^\circ;360^\circ-\delta_p^\circ] \end{cases} $$

$$L_0=\dfrac{d_p'}{2\cdot\sin(B_p^\circ)}$$

$$d_p'=d_p-2\cdot S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)$$

$$L_1=L_0+\dfrac{H_1}{\cos(B_p^\circ)}$$

$$H_1=\dfrac{H^*-\dfrac{d_p}{2}\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)-\Delta X_p\cdot\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)} {1+\tan(C_{\text{вх}1}^\circ)\cdot\tan(B_p^\circ)}$$

$$L_2=L_0+\dfrac{H_2}{\cos(B_p^\circ)}$$

$$H_2=\dfrac{H^*-\dfrac{d_p}{2}\cdot\tan(C_{\text{вх}2}^\circ)+\Delta X_p\cdot\tan(C_{\text{вх}2}^\circ)} {1+\tan(C_{\text{вх}2}^\circ)\cdot\tan(B_p^\circ)}$$

$$C_1^\circ=\arctan\left(\dfrac{H^*-H_1-S\cdot\sin(B_p^\circ)} {\dfrac{d_p}{2}+H_1\cdot\tan(B_p^\circ)+\Delta X_p'-S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)}\right)$$

$$C_2^\circ=\arctan\left(\dfrac{H^*-H_2-S\cdot\sin(B_p^\circ)} {\dfrac{d_p}{2}+H_2\cdot\tan(B_p^\circ)-\Delta X_p'-S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)}\right)$$

$$\Delta X_p'=\dfrac{D_p'}{2}\cdot\cos(\delta_p^\circ)$$

$$D_p'=D_p-2\cdot S\cdot(1-k)\cdot\cos(B_p^\circ)$$

$$D_p=d_p+2\cdot H^*\cdot\tan(B_p^\circ)-2\cdot S\cdot\sin(B_p^\circ)\cdot\tan(B_p^\circ)$$

(Примечание: $\Delta X_p'$ и $\Delta X_p$ это разные смещения, см. 7) Расчет угла наклона секущей плоскости слева $C_1^\circ$ и 8) Расчет угла наклона секущей плоскости справа $C_2^\circ$.)

Этап 3. Построение развёртки.

Построение развертки одинаково для обоих патрубков.

Проводим вертикально ось симметрии. На ней, выбрав точку для вершины, рисуем верхнюю дугу радиусом $L_0$ и углом $\theta^\circ$ симметрично относительно оси.

Для построения нижнего контура развертки переходим на луч $OO'$. Этот луч будет началом полярных координат, от которого мы отложим точки для кривой. Лицевая поверхность развертки в данном случае будет соответствовать внутренней поверхности конуса.

Рассмотрим один из вариантов построения развертки, когда угол $B^\circ$ лежит в диапазоне $B^\circ\in[0^\circ;90^\circ)$ или $B^\circ\in(270^\circ;360^\circ)$ квадранте.

Линия развертки будет состоять из трех кривых.

1) Построение первой кривой

$\gamma_1^\circ$ - угол дуги

Если $B^\circ\in[0^\circ;90^\circ)$, то $\gamma_1^\circ=\delta^\circ-B^\circ.$

Если $B^\circ\in(360^\circ-\delta^\circ;360^\circ)$, то $\gamma_1^\circ=360^\circ+\delta^\circ-B^\circ.$

Координаты точек на развертке:

$$ \omega_i^\circ=i\cdot\theta_n^\circ $$

$$ L_i= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+i\cdot\varphi_n^\circ)} \cdot L_2 $$

где

$i\in\left[0;\operatorname{Ceil}\left(\dfrac{\gamma_1^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)-1\right]$ - округляем $\operatorname{Ceil}\left(\dfrac{\gamma_1^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)$ до целого в большую сторону

Добавляем последнюю точку:

$$\omega_{i+1}^\circ=\gamma_1^\circ\cdot\sin\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i+1}= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ)} \cdot L_2 $$

Проводим плавную линию через точки.

2) Построение второй кривой

$$\gamma_2^\circ=360^\circ-2\cdot\delta^\circ.$$

Координаты первой точки:

$$\omega_{i=0}^\circ=\gamma_1^\circ\cdot\sin\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i=0}= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ)} \cdot L_2 $$

Координаты точек (кроме первой и последней) для второй кривой:

$$\omega_i^\circ=\omega_0^\circ+i\cdot\theta_n^\circ$$

$$ L_i= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+i\cdot\varphi_n^\circ)} \cdot L_1 $$

где

$i\in\left[1;\operatorname{Ceil}\left(\dfrac{\gamma_2^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)-1\right]$ - округляем $\operatorname{Ceil}\left(\dfrac{\gamma_2^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)$ до целого в большую сторону

Добавляем последнюю точку для данной кривой:

$$\omega_{i+1}^\circ=(\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)\cdot\sin\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i+1}= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)} \cdot L_1 $$

Проводим плавную линию через точки.

3) Построение третьей кривой

$$\gamma_3^\circ=360^\circ-\gamma_1^\circ-\gamma_2^\circ.$$

Координаты первой точки:

$$\omega_{i=0}^\circ=(\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)\cdot\sin\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i=0}= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)} {1-\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_1^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ)} \cdot L_1 $$

Координаты точек (кроме первой и последней) для третьей кривой:

$$\omega_i^\circ=\omega_0^\circ+i\cdot\theta_n^\circ$$

$$ L_i= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ+i\cdot\varphi_n^\circ)} \cdot L_2 $$

где

$i\in\left[1;\operatorname{Ceil}\left(\dfrac{\gamma_3^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)-1\right]$ - округляем $\operatorname{Ceil}\left(\dfrac{\gamma_3^\circ}{\varphi_n^\circ}\right)$ до целого в большую сторону

Добавляем последнюю точку для данной кривой:

$$\omega_{i+1}^\circ=(\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ+\gamma_3^\circ)\cdot\sin\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)$$

$$ L_{i+1}= \dfrac{1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)} {1+\tan\left(\dfrac{A^\circ}{2}\right)\cdot\tan(C_2^\circ)\cdot\cos(B^\circ+\gamma_1^\circ+\gamma_2^\circ+\gamma_3^\circ)} \cdot L_2 $$

Проводим плавную линию через точки.

Соединяем оба контура.